シーズン2 キャラクターカード強化の消費ゴールド期待値を計算

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これは過去のカードシステムに対する記事です

シーズン3はこちらを参照ください
シーズン3 キャラクター強化・合成の効率の良い方法

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カードを強化するのに必要なゴールドの期待値(平均)を計算してみました。専門家ではないので間違っているかもしれませんが、体感的な消費ゴールドとも一致しているのでそこそこ信頼できる数値かと思います。

計算は以下2点を考慮して算出していきます。

  • 強化に必要なゴールド期待値
  • 天井到達率

期待値は平均値と言い換えられます。天井到達率は強化ポイントが100まで溜まる確率です。

まず強化に必要なゴールド期待値の算出します

期待値の算出はN回目での成功をサイコロの目に見立てることができます。
 
例えば、次の場合、10面のサイコロを振るイメージ。
  • 1回でかかる費用を3000ゴールド
  • 成功率を10%
  • サイコロの1=1回目で成功
  • サイコロの2=2回目で成功
  • サイコロの3=3回目で成功
  • ・・・・サイコロの10=10回目で成功

サイコロの出る目はどれも1/10で一定と考えれば、何回目で成功するかも1/10で一定です。

成功までに必要なゴールドをそのままサイコロの目に置き換えると以下の式が成り立ちます。

(3000Gで成功×1/10)+(6000Gで成功×1/10)………… +(30000Gで成功×1/10)=16,500

1回3000G、成功率10%を何度も繰り返していくと成功までの平均ゴールドは16,500へと限りなく近い数値になっていきます(きっと)

 

次に天井到達率の計算します

当たらない確率を天井到達回数まで繰り返した値が天井到達率です。

例えばAカードをCカードで強化する場合、当たる確率は10%、つまり当たらない確率が90%です。

 天井到達までの回数は「100/7=15」(100/強化ポイントの切り上げ)
0.9×0.9×0.9×0.9×0.9・・・×0.9=0.206=20.6%

20.6%の確立で天井に到達します。だいたい5回に1回は天井到達する計算ですね。

ちなみにそのほかの場合の到達率はこの表を参照

ベース 成功率 到達回数 到達率
S

 

D 1.0% 100 36.6%
C 2.5% 50 28.2%
B 10.0% 15 20.6%
A 33.0% 7 6.1%
A D 2.5% 50 28.2%
C 10.0% 15 20.6%
B 33.0% 7 6.1%
B D 10.0% 15 20.6%
C 33.0% 7 6.1%
C D 33.0% 7 6.1%

※Dカードの強化は100%成功(天井なし)なので省略

ここまでで基礎となる計算方法終了です。

ここからが本題ですがついてこれていますか?難しい場合はサイコロを買ってきてひたすら転がしてみましょう。

実例:AカードをDカードのみで強化した場合の期待値を算出

本当はSカードでやりたかったのですが、SカードをDカードで強化した場合は成功率1%なので天井到達率と期待値にあまり差がでませんでした。なのでAカードを例に挙げてご紹介します。

成功率・天井到達回数の前提条件

今回の例では成功率と天井到達率等の条件が次のようになります。

  • 強化成功率は2.5%(40回に1回)の確立
  • 強化ポイントは2pt(天井到達までの実行回数は50回)
  • 天井到達率は28.2%(上の説明参照)

強化1回に必要なゴールド

カードは11枚セットで買うした場合、1枚あたり2,728ゴールドです。Aカードの強化に必要なゴールドと合わせると以下のようになります。

レベル 強化費用 合計
0⇒1 1,500 4,228
1⇒2 2,250 4,978
2⇒3 3,000 5,728
3⇒4 4,500 7,228
4⇒5 7,500 10,228

 

いよいよ計算しますお 

これまでのことを踏まえると以下の3つがわかりました。

 

  • 1回の強化にかかるゴールド
  • 天井到達時のゴールド
  • 天井じゃない場合の期待値

それぞれレベルによりことなるので表にまとめるとこうなります。

レベル 1回の費用 天井時の費用 天井外の期待値
0⇒1 4,228 215,628 86,674
1⇒2 4,978 253,878 102,049
2⇒3 5,728 292,128 117,424
3⇒4 7,228 368,628 148,174
4⇒5 10,228 521,628 209,674

 

さて最終段階です。

今回は天井到達率28.2%です。つまり天井に到達しない率71.8%、これは1000回強化成功した場合、平均して282回は天井到達で、718回は天井未到達で成功するということです。1000回強化成功に必要なゴールドはこうなります。

(天井到達額×282+未天井期待値×718)=1000回強化成功に必要なゴールド

これを1000で割れば1回の強化成功に必要な期待値が求められます。

(天井到達額×282+未天井期待値×718)÷1000=期待値

も少し簡略化するなら

天井到達額×0.282+未天井期待値×0.718=期待値

で求められます。

A0⇒A1の期待値

(215,628×0.282+86,674×0.718)=123,039ゴールド

A1⇒A2の期待値

(253,878×0.282+102,049×0.718)=144,865ゴールド

A2⇒A3の期待値

(292,128×0.282+117,424×0.718)=166,691ゴールド

A3⇒A4の期待値

(368,628×0.282+148,174×0.718)=210,342ゴールド

A4⇒A5の期待値

(521,628×0.282+209,674×0.718)=297,645ゴールド

A0~A5までDカードで強化した場合の結果

期待値は上の5つを合計し「942,581ゴールド」となります。

そのほかの期待値はざっくり。

カード期待値

 

DカードにDカードでの強化は入れていません。普通しないと思いますので。

これから考えるとS0カードを1枚作成する期待値は3,062,884ゴールド(C+0⇒5を8枚、B+0⇒5を4枚、A+0⇒5を2枚)

S0⇒S5に強化する期待値は2,665,503ゴールド。

つまりS5カードを1枚作成する期待値は5,728,387ゴールドとなりました。

 

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